초등 임용 수학 : 수학의 가치 수학적 사고 수학적 지식의 형태와 특성

1. 수학의 가치 (수학 교육의 필요성)

 가. 실용적 가치 : 실용성

 나. 도야적 가치 : 정신 능력의 훈련과 신장

 다. 문화적 가치 : 수학이라는 문화를 수용 및 전달

 라. 심미적 가치 : 아름다움, 만족감, 희열

 

2. 수학적 사고

가. 귀납적 사고

• 몇 가지 사례에서 찾은 규칙으로부터 일반적인 원리나 법칙 발견
• 일반적인 성질 추론
• 전제가 참이라도 결론은 완전한 참이 아님

나. 연역적 사고

• 어떤 사실이 옳다는 것을 주장하기 위하여 이미 알고 있는 사실을 토대로 정당성을 밝히는 것
• 전제가 참이면 결론도 반드시 참
• 귀납적 사고를 검정하기 위해 필요

귀납적 사고와 연역적 사고 비교

귀납/연역 비교	귀납적 사고	연역적 사고
목적	수학 지식 발견	수학 지식 검증
결론의 성격	전제(참) -> 결론(참or거짓)	전제(참) -> 결론(참)

다. 유추적 사고(유비추론)

• 두 대상 사이의 유사성에 착안하여 한쪽 대상에서 성립하는 성질이 유사한 다른 쪽의 대상에도 성립한다고 결론을 내리는 추론 방법
• 유추적 사고를 위한 교사 발문 : "이 문제와 유사한 문제는 없는가?", "그 문제와 공통적인 사실은 없는가?"
• 개연적 추론(귀납 추론, 유비 추론 모두 해당)

라. 직관적 사고/논리적 사고

• 직관적 사고의 좁은 의미 : 관찰이나 직감을 통하여 전체를 감지
• 직관적 사고의 넓은 의미 : 귀납, 유추
• 논리적 사고 : 분석적이고 단계적인 수학적 사고, 연역적 과정을 통해 수학적 아이디어를 정교화
• 직관적 사고를 통해 발견된 수학적 아이디어는 논리적 사고에 의해 검증 필요

마. 가역적 사고

• 어떤 변화가 일어난 상태에서 그 변화를 역으로 돌려 원래의 상태로 되돌릴 수 있는 사고 능력
• 거꾸로 풀기 전략

3. 수학적 지식이 형태와 특성

가. 수학적 지식의 형태 : 개념, 원리, 법칙

(1) 수학적 개념 : 공통적이고 일반적인 속성을 특정한 이름이나 기호로 표현한 것

• 개별 개념 : 개별적 대상(ex. 자연수, 홀수)
• 관계 개념 : 몇 개 대상 사이의 관계(ex. 공약수, 비례)
• 조작 개념 : 두 가지 이상의 개별적인 대상으로 조작(ex. 사칙 계산, 평행이동)

(2) 수학적 원리 : 일반적 성질을 증명 가능한 형태의 명제로 나타낸 것(ex. 모든 사각형의 내각의 합은 360도이다.)

(3) 수학적 법칙 : 보편적이며 필연적인 규칙 (ex. 교환법칙, 결합법칙)

 

나. 수학적 지식의 특성

(1) 추상화 : 구체물들의 집합에서 동질적인 요소만을 추출하여 개념을 형성하는 과정

(2) 형식화 : 추상화를 통해 공통적인 규칙성 또는 필요한 규칙이나 원리를 만들어가는 과정

(3) 이상화 : 현실적인 제약을 무시하고 사고하려는 개념에 맞추어 사물의 속성을 규정하는 과정, 관념의 세계

(4) 일반화 : 추상화된 개념을 보다 확장된 넓은 범위에 적용하는 과정. 언어적 일반화/문자적 일반화

(5) 특수화 : 일반적인 수학적 개념을 특수하고 구체적인 것에 적용. 새로운 산출물을 얻는 활동

(6) 계통성 : 이미 학습한 내용을 토대로 연결·통합으로 새로운 내용의 지식을 구성해 가는 성질. 선행 학습 요소

(7) 논리성 : 계통성을 지원. 연결·통합 순서는 논리적 연결성을 따른다.

(8) 실용성 : 실제 생활에 쓰이는 특성

(9) 역동성 : 끊임없이 발견, 의심, 반박, 증명 등을 통하여 발전해 가는 속성